Fração geratriz

Matemática

A fração geratriz é obtida por meio da dízima periódica, que é toda a divisão em que o resultado é um número decimal.Para tratarmos do assunto referente à fração geratriz, precisamos relembrar os conceitos de: dízima, dízima periódica simples e dízima não periódica. Isso porque a fração geratriz é obtida por meio das dízimas periódicas.

Dízima é toda fração cuja divisão não resulta em um número decimal exato, ou seja, a divisão da fração irá gerar um número com infinitas casas decimais. Veja alguns exemplos:

0,34567...

2,33333...

0,345345...

0,222222...

A dízima periódica simples é dada pela repetição de termos numéricos nas casas decimais. Sendo assim, uma dízima periódica apresenta repetições de termos numéricos depois da vírgula, esses termos determinam o período. Veja:

2,555... Período igual a 5

1,235235... Período igual a 235

0,323232... Período igual a 32

Já a dízima não periódica não possui período. Observe:

2,326598..... Não possui período

25,12032569.... Não possui período

0,02069875... Não possui período

Vamos agora explicar um método prático para encontrar a fração geratriz. Caso tenha interesse em aprender o método tradicional clique aqui: Geratriz de uma dízima periódica.

Para utilizar esse método prático o primeiro passo é identificar o período da dízima periódica. Veja:

Dízima periódica: 0,222...

Período igual a 2

No segundo passo devemos montar a fração geratriz. O numerador será o valor numérico do período, já o denominador será 9. A quantidade de noves no denominador é determinada pela quantidade de termos numéricos que compõem o período.

A dízima periódica 0,222... possui um período, então o numerador da fração será o numero 2 e o denominador possuirá somente um 9, porque temos somente um algarismo que representa o numerador. Logo:

0,222...= 2
              9

A fração encontrada é a geratriz, ou seja, quando dividimos 2 por 9 geramos o valor de 0,222....

Vamos fazer mais alguns exemplos para que fique bem entendido.

Encontre a fração geratriz das dízimas periódicas abaixo.

a) 0,3333...

b) 0,120120...

c) 2,3737...

Resposta

a) Dízima periódica: 0,3333...

período: 3

Numerador: 3

Denominador: 9, pois o numerador é representado por somente um algarismo.

Fração geratriz: 3
                              9

O número e o denominador são divisíveis por 3. Podemos então simplificar a fração geratriz:

3 ^{: 3} = 1
9 ^{: 3}   3

Caso queira verificar se 1/3 é, de fato, a fração que gera o número decimal 0,333... basta dividir 1 por 3.

b) Dízima periódica: 0,120120...

período: 120

Numerador: 120

Denominador: 999, pois o numerador é representado por 3 algarismos.

Fração geratriz: 120
                             999

O numerador e o denominador são divisíveis por 3. Simplificando a fração geratriz por 3 temos que: 120 = 40 
                                              999   333

c) Dízima periódica: 2,3737...

Essa dízima periódica possui um número inteiro que é 2. Para encontrar a fração geratriz dessa dízima basta separarmos a parte inteira da decimal numa soma e aplicarmos o método prático para encontrar a fração geratriz na parte decimal. Veja:

2,3737... = 2 + 0,3737... =

Período: 37

Numerador: 37

Denominador: 99, pois o numerador é representado por 2 algarismos.

Fração geratriz: 37
                              99

Agora substituímos, na soma, o valor decimal pela fração geratriz:

2,3737... = 2 + 0,3737... = 2 + 37
                                             99

Faça com que os termos da soma tenha o mesmo denominador, em seguida some os numeradores.

2,3737... = 2 + 0,3737... = 2 ^{x 99}+ 37 = 198 + 37 = 235
                                        1 ^{x 99}   99         99         99

A fração geratriz para a dízima periódica 2,3737... é:

2,3737... = 235
                  99

Por Naysa Oliveira
Graduada em Matemática